Topological Signal Processing With Unoriented Operators

Topological signal processing (TSP) processes signals on simplicial complexes with oriented boundary operators, which is the natural choice for flow signals or when the topological invariants play a role for the task at hand. However, many higher-order signals carry no orientation, and applying oriented operators to them is not well-defined since it introduces an arbitrary choice of simplex orientation. We study an unoriented TSP (UTSP) framework that replaces oriented boundaries with unoriented incidence matrices. First, we show that unoriented incidence and Laplacian matrices between arbitrary simplicial levels admit graph-like spectral properties. Second, since dropping orientation removes the Hodge decomposition, we introduce an unoriented counterpart, termed interaction-order decomposition, which quantifies how much of a higher-order signal is explained by aggregating lower-order signals. Third, we use this decomposition to derive regularizers for signal reconstruction that penalize each interaction order separately. Experiments on real-world data show that the order-aware regularizers outperform oriented baselines, with the largest gains when the signal energy is unevenly distributed across orders.

한 줄 요약

무향 토폴로지 신호 처리(UTSP)는 유향 경계 연산자를 대체해 무향 인접 행렬을 사용해 고차원 신호의 구조를 분석하고, 신호 복원 성능을 향상시킨다.

핵심 기여도

무향 인접 행렬과 라플라시안 행렬이 임의의 단순 복합체 수준 간 그래프와 유사한 스펙트럼 특성을 가짐을 보임.
Hodge 분해를 대체하는 'interaction-order decomposition'을 제안, 고차원 신호가 낮은 차원 신호의 집합으로 설명되는 정도를 측정.
interaction-order decomposition을 기반으로 각 interaction order를 개별적으로 제약하는 정규화기(Regularizer)를 유도.
실제 데이터 실험에서 order-aware 정규화기가 유향 기반 기준선 대비 RMSE 기준으로 74% 이상의 에너지가 4% 차원에 집중된 fp-landscape 데이터셋에서 가장 큰 성능 향상 보임.

핵심 아이디어

기존의 유향 토폴로지 신호 처리(TSP)는 단순 복합체의 유향 경계 연산자를 기반으로 신호를 Hodge 분해를 통해 그래디언트, 컬, 하모닉 성분으로 분리한다. 그러나 많은 고차원 신호는 방향성을 가지지 않아 유향 연산자를 적용하는 것이 임의적 선택을 유발하며, 이는 신호 처리의 일관성을 해친다. 본 연구는 유향 연산자를 대체해 무향 인접 행렬을 사용하는 UTSP 프레임워크를 제안한다. 특히, 무향 라플라시안 행렬은 단순 복합체 수준 간 연결성을 그래프와 유사한 방식으로 표현하며, interaction-order decomposition을 통해 고차원 신호가 낮은 차원 신호의 집합으로 설명되는 정도를 정량화한다. 이는 신호 복원 시 각 interaction order를 개별적으로 제약하는 정규화기 설계에 활용된다.

기술적 접근법

**Unoriented incidence matrix** $ \mathbf{Q}_{p,q} \in \{0,1\}^{N_p \times N_q} $: $ \sigma \subset \tau $ 일 때만 1로 설정, 유향 연산자의 부호 정보를 제거.
**Unoriented Laplacian** $ \mathbf{L}^{un}_{p,q} $: $ p $-단순체 수준에서 $ q $-단순체 수준을 통해 연결성을 표현, 무향 인접 행렬의 스펙트럼 특성을 기반으로 그래프 신호 처리와 유사한 분석 가능.
**Interaction-order decomposition**: 고차원 신호가 낮은 차원 신호의 집합으로 설명되는 정도를 측정, $ \mathbf{L}^{un}_{p,q} $ 를 통해 정의.
**Order-aware regularizer**: $ \beta \in \{(k+1)^4, \text{cut}_1, \text{cut}_2\} $ 를 사용해 각 interaction order를 개별적으로 제약.

주요 결과

fp-landscape 데이터셋에서 order-aware regularizer가 74%의 신호 에너지가 4%의 차원에 집중된 경우, 유향 기반 기준선 대비 가장 큰 성능 향상 보임.
tags-math와 NDC-substances 데이터셋에서는 에너지 분포와 차원 분포가 거의 일치하는 경우, order-aware regularizer의 성능 향상이 상대적으로 적음.
acm-coauth 데이터셋에서 $ \mathbf{G} $ 정규화기가 66%의 경우 선택됨, 노드-가산 부분공간이 관측으로 식별되지 않을 때 유용함.
RMSE/표준편차 기준, order-aware regularizer가 모든 실험 세트에서 최고 성능 기록.

의의 및 한계

UTSP는 유향 연산자의 임의성 문제를 해결하고, 고차원 신호의 구조를 새로운 방식으로 분석 가능하게 함.
interaction-order decomposition은 신호 복원 및 필터링에 유용한 구조적 정보를 제공하며, order-aware 정규화기는 신호 에너지가 불균형하게 분포된 경우에 특히 효과적임.
그러나 UTSP는 Hodge 분해를 대체하는 새로운 분해 방법을 제안했으나, 기존 TSP와의 직접적인 비교는 제한적임. 또한, 무향 연산자만을 사용하는 한계로 일부 유향 신호 처리는 여전히 어려움.

실용적 활용

UTSP는 단순 복합체 상의 신호 처리가 필요한 생명공학, 사회망 분석, 화학 반응 네트워크 등 다양한 분야에서 활용 가능. 특히, 고차원 신호의 에너지 분포가 불균형한 경우, order-aware 정규화기를 통해 신호 복원 및 예측 정확도를 향상시킬 수 있음.