Physics-Informed Conformal Prediction: Embedding PDE Consistency into Distribution-Free Uncertainty Quantification for Neural Operators

Neural operators such as the Fourier Neural Operator (FNO) achieve remarkable accuracy in approximating solutions to partial differential equations (PDEs). However, providing rigorous uncertainty estimates remains an open challenge. We propose Physics-Informed Conformal Prediction (PI-CP), a framework that embeds PDE residuals into the nonconformity score of split conformal prediction, producing prediction intervals that are (i) distribution-free with provable coverage guarantees, and (ii) spatially adaptive when the PDE residual correlates with prediction error -- tighter where physics is well-satisfied, wider where it is violated. Additionally, we prove that FNO's translation equivariance creates a fundamental approximation barrier for PDEs with Dirichlet boundary conditions, and show that coordinate channels resolve this with up to 63x error reduction. We validate PI-CP across six physics scenarios -- heat conduction (2D/3D), structural mechanics (2D/3D), Darcy flow, and Navier-Stokes -- demonstrating consistent 89-91% coverage for all four Conformal methods, while MC Dropout and Deep Ensembles are unstable (82-100%). FNO outperforms CNN and DeepONet by 10-12x.

한 줄 요약

물리학 정보를 통합한 확률적 예측 구조인 PI-CP를 제안하여 PDE 해석 모델의 불확실성을 분포와 무관하게 정량화한다.

핵심 기여도

PDE 잔차를 nonconformity score에 통합한 PI-CP 프레임워크를 제안.
FNO의 translation equivariance가 Dirichlet 경계 조건에 대한 근사 장벽을 유발함을 이론적으로 증명.
coordinate channels를 도입하여 최대 63× 오류 감소를 달성.
6가지 물리 시나리오에서 89–91%의 안정적인 coverage를 보여, MC Dropout 및 Deep Ensemble보다 우수함.

핵심 아이디어

기존의 conformal prediction은 분포 가정 없이 신뢰 구간을 제공하지만, 물리학적 제약을 고려하지 못한다. PI-CP는 PDE 잔차를 nonconformity score에 결합하여, 물리학이 잘 만족되는 영역에서는 예측 구간을 좁히고, 물리학이 위반되는 영역에서는 넓히는 **공간적 적응성**을 제공한다. 이는 PDE 잔차가 예측 오류와 상관관계가 있을 때 효과적이다. 또한, FNO의 translation equivariance는 Dirichlet 경계 조건을 다룰 때 근본적인 제한을 유발하며, 이를 coordinate channels로 해결함을 보인다.

기술적 접근법

**PI-CP**: PDE 잔차 $ R $를 nonconformity score에 포함하여, $ \rho(|R|, |y - f|) $를 사용한 상관성 진단.
**FNO**: Fourier 기반의 operator 학습, translation equivariance 특성.
**Coordinate channels**: 공간 좌표 정보를 모델 입력에 결합하여 Dirichlet BC 문제 해결.
**데이터셋**: Cole-Hopf, Taylor-Green, Matérn GRF, FEM 시뮬레이션.
**하이퍼파라미터**: $ m=8 $, $ w=32 $, $ L=4 $, $ N=1000\sim2000 $, $ \text{rel\_l2} \propto N^{-0.5} $.

주요 결과

**PI-CP**: 6개 물리 시나리오(열전도, 구조 역학, Darcy 흐름, Navier-Stokes)에서 89–91% coverage 달성.
**MC Dropout & Deep Ensemble**: coverage 불안정 (82–100%)
**FNO vs CNN/DeepONet**: FNO는 CNN 대비 10–12× 오류 감소.
**Coordinate channels**: Dirichlet BC 문제에서 최대 63× 오류 감소.

의의 및 한계

PI-CP는 물리학 정보를 확률적 예측에 통합함으로써, 분포 가정 없이도 물리학적 제약을 반영한 신뢰 구간을 제공하며, 안전-critical 응용 분야에서 유용하다. 그러나 PDE 잔차와 예측 오류 간 상관관계가 떨어지는 경우(예: 열전도 문제)는 예측 구간이 과도하게 넓어질 수 있다. 또한, 실제 산업 데이터(예: Ansys/Abaqus)는 메시 불규칙성, 다물리학 결합, 측정 노이즈로 인해 PI-CP의 성능에 영향을 줄 수 있다.

실용적 활용

PI-CP는 항공기 설계, 원자로 분석, 구조 역학 시뮬레이션 등 안전-critical 시스템에서 신뢰도 높은 예측을 제공할 수 있다. 특히, FNO와 coordinate channels를 활용한 물리 기반 모델 개선은 CAE 시뮬레이션의 효율성을 높이는 데 기여할 수 있다.