Geometric Kolmogorov--Arnold Network (GeoKAN)

We introduce Geometric Kolmogorov--Arnold Networks (GeoKANs), a family of geometry-aware KAN-type models in which approximation is carried out in learned, geometry-adapted coordinates rather than in fixed Euclidean input coordinates. GeoKAN achieves this by learning a diagonal Riemannian metric that warps the input before basis expansion and feature mixing. The learned metric provides a geometric inductive bias through local length scaling and volume distortion, and in physics-informed settings it also affects the differential structure seen by the model. Within this framework, we develop three main variants, namely GeoKAN-NNMetric, GeoKAN-$\gamma$, and LM-KAN. For LM-KAN, we further consider three basis-specific versions, LM-KAN-RBF, LM-KAN-Wav, and LM-KAN-Fourier. These variants allow us to study geometry-aware KAN models both as general function approximators and as surrogates in physics-informed learning. By stretching regions with rapid variation and compressing smoother regions, GeoKAN reallocates representational resolution in a task-dependent manner, allowing the model to place capacity where it is most needed. As a result, GeoKAN is well suited to sharp, stiff, localized, and strongly non-uniform regimes arising in scientific machine learning and differential-equation problems.

📋 한 줄 요약

**[과학 ML · KAN]** 학습 가능한 대각 리만 메트릭으로 입력 좌표를 왜곡한 뒤 기저 전개하는 기하 인식형 GeoKAN 계열(NNMetric, γ, LM-KAN)을 제안해, 가파르고 국소적인 비균일 영역에 표현 자원을 적응적으로 재할당한다.

🎯 핵심 기여도

기하 인식형 KAN 계열 GeoKAN(Geometric Kolmogorov-Arnold Network) 제안
학습 가능한 대각 리만 메트릭으로 입력을 왜곡한 후 기저 전개 및 특성 혼합 수행
GeoKAN-NNMetric, GeoKAN-γ, LM-KAN의 세 주요 변형 및 LM-KAN-RBF/Wav/Fourier 기저별 버전 제시
물리 정보 학습(PINN) 설정에서 미분 구조에까지 메트릭이 영향을 미치는 점 분석

💡 핵심 아이디어

표준 KAN은 고정된 유클리드 좌표에서 근사하지만, 함수가 가파르거나 국소적으로 비균일한 영역에서는 자원 배분이 비효율적이다. GeoKAN은 입력을 학습된 기하학적 좌표로 변환해 가파른 영역은 늘리고 부드러운 영역은 압축함으로써 표현 해상도를 과제 특화적으로 재할당한다.

🔬 기술적 접근법

**모델/방법론**: 기하 적응 좌표에서 근사를 수행하는 KAN 계열 — 대각 리만 메트릭으로 입력을 워핑한 후 기저 전개
**핵심 기법**: 학습된 대각 리만 메트릭이 국소 길이 스케일링·부피 왜곡으로 기하학적 귀납 편향 제공, LM-KAN은 RBF·Wavelet·Fourier 기저별 변형으로 다양한 시나리오 커버, 물리 정보 학습에서는 미분 구조까지 메트릭이 작용

📊 주요 결과

가파르고 국소화된 강한 비균일 영역(과학적 ML 및 미분방정식 문제)에서 강점
일반 함수 근사 및 물리 정보 학습용 대리 모델로서의 효용 분석
메트릭 워핑을 통한 과제 적응적 표현 해상도 재할당 효과 확인

💭 의의 및 한계

**의의**: KAN 계열에 기하학적 귀납 편향을 처음으로 통합해 과학 기계학습·PDE 대리 모델에 강력한 적응성을 부여한다. **한계**: 대각 메트릭으로 한정되어 비대각 상호작용을 가진 좌표계는 표현이 제한되며, 메트릭 학습이 데이터·문제별 안정성에 영향을 줄 수 있다.

🚀 실용적 활용

가파른 해/충격파 영역이 있는 PDE 대리 모델
물리 정보 신경망(PINN) 기반 과학 시뮬레이션
비균일한 함수 근사가 필요한 일반 회귀·근사 문제